ユニタリ行列 物理数学の問題です ユニタリー行列UU^*

ユニタリ行列 物理数学の問題です ユニタリー行列UU^*。行列Mに対するエルミート転置をadjMと書く。物理数学の問題です ユニタリー行列(UU^*=U^*U=I,Iは単位行列)の固有値をλとしたとき、 λ ^2=1 であることを示せ です よろしくお願いします!ユニタリ行列。豆知識。前回から何度も出てきているエルミートというのはフランスの数学者
シャルル?エルミート のことである^{?} や ^{?} が「
単位行列」になるからだと言われればそんな気もするし,ユニタリ行列が互いに
直交する「単位ベクトル」を並べて作られているからだと言固有値がそれぞれ
異なる場合には互いの固有ベクトルが直交することが証明されているので問題は
ない

行列Mに対するエルミート転置をadjMと書く。つまり、Uがユニタリ行列であればUadjU=adjUU=IUの固有ベクトルをvとすれば、Uv=λv と表される。両辺は当然ベクトルである。さて、両辺それぞれについてノルムを計算すると、normUv=normλvnormUv^2=normλv^2=absλ^2 normv^2ここで、normUv^2=adjUvUv=adjvadjUUv=adjvIv=adjvv=normv^2つまり、normv^2=absλ^2 normv^2 が成り立ち、固有ベクトルの定義から normv≠0 であるから、absλ^2=1 すなわち absλ=1 を得る。

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